Để tổng quát hóa sang đại số phổ dụng, các nhóm con chuẩn tắc cần phải được thay bằng các quan hệ tương đẳng.

Quan hệ tương đẳng (hay tương đẳng) trên đại số A {\displaystyle A} là quan hệ tương đương Φ ⊆ A × A {\displaystyle \Phi \subseteq A\times A} tạo đại số con của A × A {\displaystyle A\times A} , đại số con này được coi là đại số đi cùng phép toán từng phần. Ta có thể biến tập của các lớp tương đương A / Φ {\displaystyle A/\Phi } thành một đại số có cùng kiểu qua các phép toán qua phần tử đại diện. Các phép toán này sẽ được định nghĩa tốt bởi bởi Φ {\displaystyle \Phi } là đại số con của A × A {\displaystyle A\times A} . Cấu trúc thu về được được gọi là đại số thương.

Định lý A (đại số phổ dụng)

Gọi f : A → B {\displaystyle f:A\rightarrow B} là đồng cấu đại số. Khi đó ảnh của f {\displaystyle f} là đại số con của B {\displaystyle B} , quan hệ cho bởi Φ : f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle \Phi :f(x)=f(y)} (tức hạt nhân của f {\displaystyle f} ) tương đẳng trên A {\displaystyle A} , và hai đại số A / Φ {\displaystyle A/\Phi } và im ⁡ f {\displaystyle \operatorname {im} f} đẳng cấu với nhau (Lưu ý rằng trong trường hợp nhóm, f ( x ) = f ( y ) {\displaystyle f(x)=f(y)} ⇔ {\displaystyle \Leftrightarrow } f ( x y − 1 ) = 1 {\displaystyle f(xy^{-1})=1} , nên ta có thể tìm ra khái niệm của hạt nhân trong lý thuyết nhóm trong trường hợp này.)

Định lý B (đại số phổ dụng)

Cho đại số A {\displaystyle A} , và đại số con B {\displaystyle B} của A {\displaystyle A} , cùng với tương đẳng Φ {\displaystyle \Phi } trên A {\displaystyle A} , gọi Φ B = Φ ∩ ( B × B ) {\displaystyle \Phi _{B}=\Phi \cap (B\times B)} là vết của Φ {\displaystyle \Phi } trong B {\displaystyle B} và [ B ] Φ = { K ∈ A / Φ : K ∩ B ≠ ∅ } {\displaystyle [B]^{\Phi }=\{K\in A/\Phi :K\cap B\neq \emptyset \}} là họ các lớp tương đương giao với B {\displaystyle B} . Khi đó

1. Φ B {\displaystyle \Phi _{B}} là tương đẳng trên B {\displaystyle B} ,
2.   [ B ] Φ {\displaystyle \ [B]^{\Phi }} là đại số con của A / Φ {\displaystyle A/\Phi } , và
3. Đại số [ B ] Φ {\displaystyle [B]^{\Phi }} đẳng cấu với đại số B / Φ B {\displaystyle B/\Phi _{B}} .

Định lý C (đại số phổ dụng)

Cho A {\displaystyle A} là đại số và Φ , Ψ {\displaystyle \Phi ,\Psi } là hai quan hệ tương đẳng trên A {\displaystyle A} sao cho Ψ ⊆ Φ {\displaystyle \Psi \subseteq \Phi } . Khi đó Φ / Ψ = { ( [ a ′ ] Ψ , [ a ″ ] Ψ ) : ( a ′ , a ″ ) ∈ Φ } = [   ] Ψ ∘ Φ ∘ [   ] Ψ − 1 {\displaystyle \Phi /\Psi =\{([a']_{\Psi },[a'']_{\Psi }):(a',a'')\in \Phi \}=[\ ]_{\Psi }\circ \Phi \circ [\ ]_{\Psi }^{-1}} tương đẳng trên A / Ψ {\displaystyle A/\Psi } , và A / Φ {\displaystyle A/\Phi } đẳng cấu với ( A / Ψ ) / ( Φ / Ψ ) . {\displaystyle (A/\Psi )/(\Phi /\Psi ).}

Định lý D (đại số phổ dụng)

Cho A {\displaystyle A} là đại số và đặt Con ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Con} A} là tập các tương đẳng trên A {\displaystyle A} . Tập Con ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Con} A} là dàn đầy đủ sắp thứ tự theo phép chứa.[18]Nếu Φ ∈ Con ⁡ A {\displaystyle \Phi \in \operatorname {Con} A} là tương đẳng và ta ký hiệu [ Φ , A × A ] ⊆ Con ⁡ A {\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]\subseteq \operatorname {Con} A} là tập tất cả các tương đẳng chứa Φ {\displaystyle \Phi } (tức là [ Φ , A × A ] {\displaystyle \left[\Phi ,A\times A\right]} là bộ lọc chính của Con ⁡ A {\displaystyle \operatorname {Con} A} , hơn nữa nó còn là dàn con), khi đoánh xạ α : [ Φ , A × A ] → Con ⁡ ( A / Φ ) , Ψ ↦ Ψ / Φ {\displaystyle \alpha :\left[\Phi ,A\times A\right]\to \operatorname {Con} (A/\Phi ),\Psi \mapsto \Psi /\Phi } là đẳng cấu dàn.[19][20]